Équations et inéquations exponentielles et logarithmiques

L’application résout une équation exponentielle en se ramenant à la même base, en passant au logarithme ou par changement de variable ; une équation logarithmique en regroupant les logarithmes selon leurs propriétés puis en passant à l’exponentielle, toujours avec les conditions. Les inéquations sont résolues par la monotonie – pour une base inférieure à 1, le sens change.

Équations à bases différentes : aˣ + bˣ = cˣ avec des bases issues de deux nombres premiers (25ˣ + 10ˣ = 4ˣ) sont divisées par une puissance puis rendues quadratiques par t = (5/2)ˣ ; les logarithmes de bases différentes sont ramenés à une seule (log₅ x = log₂ x / log₂ 5).

Les logarithmes dont les bases sont des puissances d’un même nombre (log₂ x + log₄(x + 2) = 2) sont ramenés à une seule base (log₄ a = log₂ a / 2), l’équation est multipliée et les logarithmes regroupés. Un logarithme avec l’inconnue dans la base (logₓ 8 = 3) est éliminé par la définition (x³ = 8) avec les conditions x > 0, x ≠ 1. Une équation avec l’inconnue dans la base et dans l’exposant (x^(log x) = 100) est résolue en prenant le logarithme et par la substitution t = log x. Les inéquations avec la substitution t = log(x + 1) et les systèmes d’inéquations logarithmiques et exponentielles sont résolus comme des inéquations isolées – par la monotonie.

Les équations et inéquations avec des fonctions hyperboliques sont réécrites par la définition (sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, …) en équations exponentielles et résolues par la substitution t = eˣ ; arsinh x = c par la fonction réciproque (x = sinh c).

Exemples

Le changement de variable t = 2ˣ.

Énoncé: 4^x - 3*2^x - 4 = 0

Regrouper les logarithmes, conditions.

Énoncé: log_2(x+1) + log_2(x-1) = 3

Bases différentes : on divise par 4ᵈ, puis t = (5/2)ᵈ.

Énoncé: 25^d + 10^d = 4^d

Base inférieure à 1 – le sens de l’inégalité change.

Énoncé: (1/2)^x > 8

Tangente hyperbolique par la définition – substitution t = e²ˣ.

Énoncé: tanh x = 1/2

L’inconnue dans la base – par la définition ; la racine −1 ne vérifie pas les conditions.

Énoncé: log_x (2x+3) = 2

L’inconnue dans la base et l’exposant – on prend le logarithme, substitution t = log x.

Énoncé: x^(log x) = 100

Limitations connues

• Les logarithmes de bases différentes qui ne sont pas des puissances d’un même nombre (log₂ x + log₃(x + 1) = 2) ne sont résolus que numériquement.
• Les équations hyperboliques qui mènent à une équation de degré 4 en eˣ (cosh²x − 3 sinh x = 3) ne sont résolues que numériquement ; les inéquations avec des fonctions hyperboliques réciproques ne sont pas encore prises en charge.