Intégrales et leurs applications

L’application calcule une intégrale à l’aide d’une primitive (formule de Newton–Leibniz) et trace l’aire sous la courbe – la partie au-dessus de l’axe des x d’une autre couleur que celle en dessous. Elle traite aussi les intégrales impropres et les applications : aire, longueur d’arc, volume et aire latérale d’un solide de révolution, aussi pour les courbes paramétrées et en coordonnées polaires.

Intégrale

L’application trouve la primitive comme pour une intégrale indéfinie et substitue les bornes. Avec un changement de variable, elle change directement les bornes. Si l’intégrale n’a pas de primitive élémentaire, elle la calcule numériquement.

Comment le saisir

`int(x^2, x, 0, 3)`	Une intégrale avec la variable et les bornes.
`\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx`	Depuis une photo ou en LaTeX.
`x^2`	Une fonction avec la puce « Intégrer » – indiquez les bornes dans les champs.

Exemples

Un changement de variable avec les bornes changées.

Énoncé: int(3x^2 cos(x^3), x, 0, 1)

Intégrales impropres

Une borne infinie ou une fonction non bornée sont traitées par une limite de la primitive, et l’application dit si l’intégrale converge ou diverge. Si cette limite ne peut pas être calculée, elle conclut par un critère de comparaison.

Exemples

Une borne supérieure infinie.

Énoncé: int(1/x^2, x, 1, oo)

Une fonction non bornée à la borne inférieure.

Énoncé: int(1/sqrt(x), x, 0, 1)

Aire sous une courbe et entre deux courbes

L’aire entre une courbe et l’axe des x, ou entre deux courbes, est calculée comme l’intégrale de la valeur absolue de la différence – les parties au-dessus et en dessous comptent toutes deux positivement. Inutile de donner les bornes : elles sont trouvées comme les points d’intersection des courbes.

Comment le saisir

`aire(x^2, x)`	L’aire entre deux courbes, bornes aux points d’intersection.
`aire(sin x, 0, pi)`	L’aire entre une courbe et l’axe des x sur un intervalle.
`x^2`	Une fonction avec la puce « Intégrer » → « Aire entre courbes » ; indiquez la seconde courbe et les bornes dans les champs.

Exemples

L’aire entre une parabole et une droite.

Énoncé: x^2 Aire entre courbes, seconde courbe x

Longueur d’arc

La longueur d’une courbe sur un intervalle est calculée par la formule l = ∫√(1 + f′²) dx. L’application essaie de simplifier la racine (pour un demi-cercle, on obtient l’arc sinus) ; quand l’intégrale n’a pas de primitive élémentaire, le résultat est numérique.

Comment le saisir

longueur(x^(3/2), 0, 4) La longueur d’arc sur un intervalle.

Exemples

La longueur d’un demi-cercle.

Énoncé: sqrt(1 - x^2) Longueur d’arc, bornes −1 et 1

Volume d’un solide de révolution

Le volume d’un solide de révolution autour de l’axe des x est calculé par la formule V = π∫f² dx (entre deux courbes, par couronnes), autour de l’axe des y par la méthode des tubes. L’application montre aussi le solide en 3D – faites-le tourner avec le doigt.

Comment le saisir

`volume(sqrt(x), 0, 4)`	Le volume du solide obtenu par rotation autour de l’axe des x.
`volume(x^2, 0, 2, y)`	Rotation autour de l’axe des y.

Exemples

Un paraboloïde de révolution.

Énoncé: sqrt(x) Volume d’un solide, bornes 0 et 4

Aire latérale d’un solide de révolution

L’aire latérale est calculée par la formule S = 2π∫f√(1 + f′²) dx ; le produit sous la racine se simplifie souvent (pour une sphère, on obtient une constante).

Comment le saisir

surface(sqrt(4 - x^2), -2, 2) L’aire latérale par rotation autour de l’axe des x.

Exemples

L’aire d’une sphère de rayon 2.

Énoncé: sqrt(4 - x^2) Surface d’un solide, bornes −2 et 2

Courbes paramétrées et en coordonnées polaires

Écrivez une courbe x = φ(t), y = ψ(t) sur deux lignes, une courbe en coordonnées polaires sous la forme r = ρ(φ). La puce « Intégrer » propose alors l’aire, la longueur, le volume et la surface ; les bornes du paramètre sont facultatives (sans elles, de 0 à 2π). Le volume et la surface sont calculés par rotation autour de l’axe des x de la partie de la courbe située au-dessus de l’axe.

Comment le saisir

`x = t - sin(t) y = 1 - cos(t)`	Une courbe paramétrée sur deux lignes.
`r = 1 + cos(phi)`	Une courbe en coordonnées polaires (aussi r^2 = … pour une lemniscate).
`longueur(x=cos(t)^3, y=sin(t)^3, t, 0, 2pi)`	La forme écrite avec le paramètre et les bornes.

Exemples

L’aire sous une arche de cycloïde.

Énoncé:

x = t - sin(t)
y = 1 - cos(t)

Aire

La longueur d’une cardioïde.

Énoncé: r = 1 + cos(phi) Longueur d’arc

Courbes données par une équation

Pour une équation en x et y (x³ + y³ = 3xy), la puce « Intégrer » propose l’aire, la longueur, le volume et la surface. Sans bornes, elle prend toute la courbe fermée : le cercle et l’ellipse sous forme paramétrique par cos et sin, une boucle passant par l’origine (le folium de Descartes) par les droites y = tx – l’aire de la boucle alors exactement par les secteurs, la longueur, le volume et la surface numériquement. Avec des bornes en x, elle utilise la branche supérieure y = f(x).

Comment le saisir

`x^3 + y^3 = 3xy`	Une courbe fermée – la puce « Intégrer » sans bornes.
`y^2 = x^3`	Une courbe non fermée – la puce « Intégrer » avec des bornes en x (la branche supérieure y = x^(3/2)).

Exemples

L’aire de la boucle du folium – par les droites y = tx et les secteurs, S = 3/2.

Énoncé: x^3 + y^3 = 3xy Intégrer → Aire

Limitations connues

La longueur d’arc de y = ∛x (et de courbes semblables) n’est calculée que numériquement – elle conduit à une intégrale elliptique, qui n’a pas de primitive élémentaire.
Pour les courbes paramétrées et polaires, l’aire coloriée et le solide en 3D manquent encore ; rotation seulement autour de l’axe des x.
Rotation autour de l’axe des y seulement pour une région d’un seul côté de l’axe.
Pour les courbes implicites sans bornes, seuls le cercle, l’ellipse et une boucle passant par l’origine sont pris en charge ; rotation seulement autour de l’axe des x.