Séries

Pour une série numérique, l’application vérifie d’abord la condition nécessaire de convergence (terme général tendant vers 0), puis choisit un critère selon la forme de la série – série géométrique, Σ 1/nᵖ, règle de d’Alembert, de Cauchy, comparaison par équivalents, comparaison à une intégrale ou critère des séries alternées ; pour une série alternée, elle distingue convergence absolue et semi-convergence. Quand c’est possible, elle calcule la somme. Le graphique montre les termes et les sommes partielles.

Séries numériques

L’application trouve la somme des séries géométriques et télescopiques, des séries Σ P(n)qⁿ et des séries connues (Σ 1/n² = π²/6) ; sinon elle la calcule numériquement. Une somme finie se calcule comme à l’école – télescopique, arithmétique, géométrique, sinon terme à terme. Une équation avec la somme d’une série géométrique est aussi résolue, avec la condition de convergence |q| < 1 vérifiée.

Comment le saisir

`somme(1/n^2)`	Le terme général ; l’indice n à partir de 1 (aussi sum).
`somme(1/n^2, n, 1, oo)`	Avec l’indice et la valeur de départ.
`\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}`	Depuis une photo ou en LaTeX.
`1/n^2`	Le terme général avec la puce « Série » – indiquez l’indice de départ dans le champ.
`somme(2k+1, k, 1, 100)`	Une somme finie – avec l’indice, la borne inférieure et la borne supérieure.

Exemples

La série Σ 1/n² – converge, la somme vaut π²/6.

Énoncé: sum(1/n^2)

Le critère des séries alternées – semi-convergente.

Énoncé: sum((-1)^(n+1)/n)

La règle de d’Alembert et la somme.

Énoncé: sum(n/2^n)

La condition nécessaire n’est pas remplie – la série diverge.

Énoncé: sum(n/(n+1))

Somme télescopique – il reste le premier et le dernier terme.

Énoncé: sum(sqrt(2i+1) - sqrt(2i-1), i, 1, 60)

Équation avec la somme d’une série géométrique.

Énoncé: sum((2^x)^n, n, 1, oo) = 1

Séries entières

Pour une série entière, l’application trouve le rayon de convergence par la règle de d’Alembert, étudie les bornes comme des séries numériques et donne le domaine de convergence ; quand c’est possible, aussi la somme. Le graphique montre les sommes partielles avec un curseur pour le nombre de termes.

Exemples

Le domaine de convergence [−1 ; 1[.

Énoncé: sum(x^n/n)

Série de Taylor

L’application obtient la série de Taylor d’une fonction à partir de développements connus (eˣ, sin x, ln(1 + x), …) par substitution et en détermine le domaine de convergence.

Comment le saisir

taylor(e^x, 0, oo) La fonction, le point et oo au lieu du degré ; ou la puce « Polynôme de Taylor » → « Série ».

Exemples

La série de ln(1 + x) et son domaine de convergence.

Énoncé: taylor(ln(1 + x), 0, oo)