Primitives et intégrales indéfinies

L’application intègre avec les méthodes enseignées en classe et indique à chaque étape ce qu’elle fait. Elle vérifie le résultat en dérivant (la vérification est la dernière étape) et trace la fonction à intégrer et la primitive.

Les racines de puissances de la variable (∛(x⁴), √(x³)) sont réécrites en puissances d'exposant rationnel ; une valeur absolue (|cos x|, √(1 − sin²x)) avec la fonction signe sgn.

Si une intégrale n’a pas de primitive élémentaire (comme e^(−x²)), l’application le dit et l’exprime à l’aide d’une fonction spéciale (erf, Si, …).

Comment le saisir

`int(x e^x, x)`	Une intégrale avec la variable.
`int(x^2 sin x)`	Sans la variable quand il n’y en a qu’une.
`∫ x^2 dx`	Avec le signe intégrale, aussi depuis une photo.
`x e^x`	Une fonction avec la puce « Intégrer ».

Primitives usuelles et changement de variable

L’intégrale d’une somme terme à terme, les constantes sorties de l’intégrale, les primitives du tableau (aussi avec une fonction intérieure affine) et le changement de variable quand on reconnaît une fonction composée avec la dérivée de l’intérieur.

Exemples

Terme à terme d’après le tableau.

Énoncé: int(3x^2 - 2/x + e^x)

Le changement de variable t = x².

Énoncé: int(2x cos(x^2))

Intégrale avec des constantes a, b.

Énoncé: int(1/(a - bx)^3)

Intégration par parties

Le produit d’un polynôme par une exponentielle, une fonction trigonométrique ou un logarithme est intégré par parties, plusieurs fois si nécessaire ; les intégrales comme eˣ sin x par parties de façon cyclique.

Exemples

Deux intégrations par parties successives.

Énoncé: int(x^2 e^x)

Fractions rationnelles

L’application effectue si besoin la division, factorise le dénominateur et décompose la fraction en éléments simples, qu’elle intègre en logarithmes et en arctangentes.

Un dénominateur qu’on ne peut pas factoriser sur les rationnels (x⁴ + 1, x⁵ + 1) est factorisé sur les réels – chaque paire de racines complexes conjuguées donne un facteur du second degré sans racine réelle.

Exemples

Décomposition en éléments simples.

Énoncé: int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))

Factorisation du dénominateur x⁴ + 1 sur les réels.

Énoncé: int(1/(x^4 + 1))

Fonctions trigonométriques

D’abord les formules (sin²x = (1 − cos 2x)/2, produits en sommes), pour une puissance impaire le changement t = sin x ou t = cos x, pour une fraction rationnelle en sinus et cosinus un changement selon la parité, et le changement t = tan(x/2) seulement en dernier recours.

Exemples

Une puissance impaire du sinus – le changement t = cos x.

Énoncé: int(sin(x)^3 cos(x)^2)

Fonctions hyperboliques

Intégrales usuelles (∫sinh x dx = cosh x + C, ∫1/cosh²x dx = tanh x + C, …), ∫tanh x dx par le logarithme de la dérivée, par parties (x sinh x, arsinh x), carrés par les formules sinh²x = (cosh 2x − 1)/2, tanh²x = 1 − 1/cosh²x ; le reste par la définition à l’aide d’exponentielles.

Exemples

La formule sinh²x = (cosh 2x − 1)/2.

Énoncé: int(sinh(x)^2)

Racines

Les intégrales avec la racine d’une fonction homographique par changement de variable, avec la racine d’un trinôme par un changement d’Euler, et les intégrales binômes selon les conditions de Tchebychev – si aucune n’est satisfaite, l’application dit que l’intégrale n’est pas élémentaire.

Exemples

Un changement d’Euler.

Énoncé: int(sqrt(x^2 + 1))

Limitations connues

Pour certaines intégrales, nous trouvons le résultat sans démarche – l’application l’indique dans les étapes.
Un calcul sans démarche qui prend trop de temps est interrompu – l’application l’indique.