Nekonečné řady

U číselné řady aplikace nejdřív ověří nutnou podmínku konvergence a pak zvolí jedno kritérium podle tvaru řady – geometrická řada, Σ 1/nᵖ, podílové, odmocninové, limitní srovnávací, integrální nebo Leibnizovo kritérium; u řady se střídavými znaménky rozliší absolutní a neabsolutní konvergenci. Kde to jde, řadu sečte. V grafu jsou členy a částečné součty.

Číselné řady

Součet aplikace najde u geometrické a teleskopické řady, u řad Σ P(n)qⁿ a u známých řad (Σ 1/n² = π²/6); jinak ho spočítá numericky. Konečný součet sečte jako ve škole – teleskopický, aritmetický, geometrický, jinak člen po členu. Vyřeší i rovnici se součtem geometrické řady a ověří podmínku konvergence |q| < 1.

Jak zadat

suma(1/n^2)Obecný člen; index n od 1 (i sum, řada).
suma(1/n^2, n, 1, oo)S indexem a počátečním členem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}Z fotky nebo v zápisu LaTeX.
1/n^2Obecný člen s čipem „Řada“ – počáteční index vyplníte do pole.
suma(2k+1, k, 1, 100)Konečný součet – s indexem, dolní a horní mezí.

Ukázky

Řada Σ 1/n² – konverguje, součet π²/6.
Zadání: sum(1/n^2)
sum(1/n^2)
sum(1/n^2)sum(1/n^2)
Leibnizovo kritérium – konverguje neabsolutně.
Zadání: sum((-1)^(n+1)/n)
sum((-1)^(n+1)/n)
sum((-1)^(n+1)/n)sum((-1)^(n+1)/n)
Podílové kritérium a součet.
Zadání: sum(n/2^n)
sum(n/2^n)
sum(n/2^n)sum(n/2^n)
Není splněna nutná podmínka – řada diverguje.
Zadání: sum(n/(n+1))
sum(n/(n+1))
sum(n/(n+1))sum(n/(n+1))
Teleskopický součet – zbude první a poslední člen.
Zadání: sum(sqrt(2i+1) - sqrt(2i-1), i, 1, 60)
sum(sqrt(2i+1) - sqrt(2i-1), i, 1, 60)
Rovnice se součtem geometrické řady.
Zadání: sum((2^x)^n, n, 1, oo) = 1
sum((2^x)^n, n, 1, oo) = 1

Mocninné řady

U mocninné řady aplikace najde poloměr konvergence podílovým kritériem, krajní body vyšetří jako číselné řady a uvede obor konvergence; kde to jde, i součet. Graf ukáže částečné součty s posuvníkem počtu členů.

Ukázky

Obor konvergence ⟨−1; 1).
Zadání: sum(x^n/n)
sum(x^n/n)
sum(x^n/n)sum(x^n/n)

Taylorova řada

Taylorovu řadu funkce aplikace odvodí ze známých rozvojů (eˣ, sin x, ln(1 + x), …) dosazením a určí její obor konvergence.

Jak zadat

taylor(e^x, 0, oo)Funkce, bod a oo místo stupně; nebo čip „Taylorův polynom“ → „Řada“.

Ukázky

Řada ln(1 + x) a její obor konvergence.
Zadání: taylor(ln(1 + x), 0, oo)
taylor(ln(1 + x), 0, oo)
taylor(ln(1 + x), 0, oo)taylor(ln(1 + x), 0, oo)