Équations et inéquations avec paramètre

Une lettre de l'équation autre que l'inconnue est un paramètre : un réel quelconque dont dépend la solution. L'application ramène l'équation à la forme A·x = B (une équation du second degré à A·x² + B·x + C = 0) et discute la solution selon les valeurs du paramètre : où le coefficient de l'inconnue est nul, où le discriminant est positif, nul ou négatif, où les conditions excluent une racine et pour quelles valeurs le problème n'a pas de sens. Le résultat résume les cas.

L'application choisit l'inconnue dans l'ordre x, y, z, u, v, w, t ; les autres lettres sont des paramètres. Choisis une autre inconnue avec la puce « Inconnue » ou écris-la après une virgule. Le graphique montre toutes les solutions comme une courbe (une région pour une inéquation) dans le plan paramètre–inconnue ; choisis la valeur du paramètre avec le curseur et lis les solutions sur la droite verticale.

Après une virgule, vous pouvez aussi poser une question sur les racines : « x^2 + px + 4 = 0, x > 0 » – pour quels p toutes les racines sont positives (la puce « La condition porte sur » passe à au moins une racine), « …, x = 3 » – pour quels p 3 est racine. Pour une équation linéaire, la racine est remplacée dans la condition ; pour une équation du second degré, on utilise les relations de Viète. Un système de deux équations linéaires avec paramètre est résolu par les déterminants (règle de Cramer), avec les cas d’une, d’aucune et d’une infinité de solutions. Une inéquation du second degré ou rationnelle est discutée selon l’ordre de ses zéros. Le curseur du graphique s’arrête exactement sur les valeurs critiques du paramètre, listées aussi sous le graphique.

Dans une intégrale indéfinie, les autres lettres sont des constantes ; l'application indique lesquelles ne doivent pas être nulles (∫ dx/(a − bx)³ pour b ≠ 0).

Comment le saisir

Exemples

Équation linéaire – pas de solution pour a = 2.

Énoncé: 2ax + a = 4x

Équation du second degré – discussion selon le discriminant.

Énoncé: x^2 + 6x + p = 0

Inéquation – le signe du coefficient décide du sens.

Énoncé: 2x + 2p - 5 < 2px + 7

Les deux racines supérieures à 1 – discriminant et relations de Viète.

Énoncé: x^2 - 2px + p + 2 = 0, x > 1

Un système avec paramètre – déterminants ; les droites sont sécantes, parallèles ou confondues.

Énoncé: ax + y = 1
x + ay = 1

Une inéquation rationnelle – selon l’ordre du zéro p et du point 1.

Énoncé: (x - p)/(x - 1) > 0

Limitations connues

• La discussion complète par intervalles avec un seul paramètre, avec plusieurs les cas généraux.
• Questions sur les racines seulement pour les équations linéaires et du second degré ; systèmes avec paramètre seulement de deux équations linéaires ; un paramètre sous une racine ou dans un logarithme, pas encore.