Series de Fourier
La aplicación construye la serie de Fourier de una función en un intervalo tomado como un periodo (sin indicarlo, en [−π, π]), o la serie de senos o de cosenos de una función en [0, L]. La función también puede darse a trozos.
Calcula los coeficientes mediante integrales con todo el procedimiento (por partes con el parámetro n), sustituye sin nπ = 0 y cos nπ = (−1)ⁿ y aprovecha la simetría de las funciones pares e impares. En los puntos de discontinuidad determina la suma de la serie por el teorema de Dirichlet y, sustituyendo un punto y con la identidad de Parseval, deduce sumas de series numéricas (como Σ 1/n² = π²/6). La gráfica muestra la extensión periódica de la función y las sumas parciales con un deslizador.
Cómo introducirlo
fourier(x^2, -pi, pi) | La función y el intervalo. |
fouriersin(x, 0, pi) | La serie de senos (fouriercos – la de cosenos). |
-1, -pi < x < 0 | Una función a trozos, línea por línea, con el chip «Serie de Fourier». |
x^2 | Una función con el chip «Serie de Fourier» – allí eliges el tipo de serie y el intervalo. |
Ejemplos
Una función par – solo cosenos; las sumas Σ 1/n² y Σ 1/n⁴.
Enunciado:
fourier(x^2)
Una función a trozos – saltos y el fenómeno de Gibbs.
Enunciado:
-1, -pi < x < 0
1, 0 < x < pi Serie de Fourier
Una serie de senos y la suma 1 − 1/3³ + 1/5³ − … = π³/32.
Enunciado:
fouriersin(x*(pi - x), 0, pi)
Limitaciones conocidas
- Una función no acotada (como ln x en [0, 2π]) no se puede desarrollar – la serie divergería en el punto donde la función crece sin límite.
- Cuando los coeficientes llevan a una integral sin primitiva elemental (ln x en [1, 3]), se expresan con el seno y el coseno integral.